数学的証明の書き方：仮定から結論まで、すき間なく

数学の証明は、仮定と定義から、結論を一歩ずつ論理でつないで導く文章です。示すことをはっきりさせる、記号を定義する、論理のつなぎの言葉を使う、場合分け・背理法・数学的帰納法の書き方、数式の書き方とよくある誤りを紹介します。

数学の証明は、仮定と定義から出発して、結論を、例外なく成り立つ論理の一歩ずつでつないで導く文章です。経験科学の研究では結果が仮説を「支持」するにとどまるのに対して、証明は結論が必ず成り立つことを示します（「演繹と帰納」「日常と意味が違う言葉」）。

書き始める前に、示すことをはっきりさせる

命題： $n$ が奇数ならば、 $n^2$ は奇数である。

仮定： $n$ は奇数。示すこと： $n^2$ は奇数。

示すことを書き出しておくと、途中で、示すべきことを仮定のように使ってしまう誤りを防げます。

証明　 $n$ は奇数なので、ある整数 $k$ を用いて $n = 2k + 1$ と書ける。このとき、

$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

である。 $2k^2 + 2k$ は整数なので、 $n^2$ は奇数である。　□

言葉	使い方
〜なので、〜だから	前の内容が、次の内容の理由であることを示す
よって、したがって、ゆえに	前の内容から、結論を導く
〜とする、〜とおく	記号を導入する、仮定を置く
任意の〜について	すべての〜について成り立つことを示す
ある〜が存在して	少なくとも一つ、条件を満たすものがあることを示す
一般性を失わずに	場合を一つに絞っても、ほかの場合も同じように示せることを断る

「明らかに」は、本当に一歩で確かめられるときだけ使います。説明を省くために使うと、すき間のある証明になります。

すべての場合を、もれなく、重なりなく分けて、それぞれで示します。「場合1： $n$ が偶数のとき」「場合2： $n$ が奇数のとき」のように、場合を明記します。

結論が成り立たないと仮定して、矛盾を導き、結論が成り立つことを示します。「〜でないと仮定する」で始め、「これは〜に矛盾する。よって〜である」で締めくくります。

自然数についての命題を示すときに使います。

2 の「仮定する」部分（帰納法の仮定）を、どこで使ったかを明記します。

誤り	何が問題か
いくつかの数で確かめて、成り立つとする	例での確認は、証明にならない（事例から一般化する帰納であって、演繹ではない。なお、数学的帰納法は、名前に反して演繹的な証明の方法）
示すべき結論を、途中で使う	循環になり、何も示していない（「誤謬」の論点先取）
記号を定義せずに使う	読み手が、記号の意味を決められない
「明らか」で、大事な一歩を飛ばす	すき間のある証明になる
逆を示して、もとの命題を示したとする	「A ならば B」の逆「B ならば A」は、別の命題

対偶（「B でないならば A でない」）は、もとの命題と同じ真偽を持つので、対偶を示してもとの命題を示すことはできます。逆と取り違えないようにしましょう。

数式も文の一部：数式のあとにも、文の流れに合わせて句読点を打つ
変数は斜体、数字と決まった名前の関数は立体：文字で置いた変数や関数（ $x$ , $f(x)$ ）は斜体、 $\sin x$ や $\log x$ のような決まった名前の関数は立体にする。TeX では \sin \log と書くと立体になる
大事な式には番号を付ける：あとで「式 (1) より」と参照できるようにする
TeX を使う：数式の多いレポートは、TeX（LaTeX）で書くと整えやすくなります。文中の数式は $...$ 、別の行に出す数式は \[...\] や、番号を付けられる equation・align の環境で書きます（このガイドやエディタでは $$...$$ も使えますが、LaTeX の文書ではふつう使いません）（「提出するファイルの形式」）

このサービスのエディタでは、 $...$ で数式を書けます。Word に書き出すと、数式は Word の数式として書き出されます（変換できない一部の式は、TeX の文字列のまま残ることがあります）。

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